1.5 Continuous random variables (example: the normal distribution) |

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1.5 Continuous random variables (example: the normal distribution)

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00:00Okay, schauen wir uns also wieder die Normalverteilung an.
00:06Aber dieses Mal werden wir uns einige der Funktionen in R ansehen, die es uns erlauben, interessante und nützliche Fragen zu stellen über
00:13dieses spezielle Beispiel einer kontinuierlichen Zufallsvariablen.
00:18Was wir also bisher gesehen haben, ich erinnere euch nur daran, was wir bisher gemacht haben.
00:22Wir können zumindest in der Theorie herausfinden.
00:24Wir können die Fläche unter der Kurve zwischen einem bestimmten Bereich von Werten in der Normalverteilung berechnen, und das ergibt
00:30die Wahrscheinlichkeit, diesen bestimmten Wertebereich zu beobachten.
00:35Dafür brauchen wir also die CDF.
00:37Und ich habe dir vorhin gesagt, dass die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion zwei Teile hat, die mit der Normalen zusammenhängen, die Normalisierung
00:46Konstante und der Kernel.
00:48Und wir können die Normalisierungskonstante berechnen, sobald wir einen Kernel haben, dessen Bedeutung natürlich später klar wird.
00:55Aber ich möchte nur, dass du verstehst, dass es immer zwei Teile gibt, und einer davon ist eine Konstante,
01:02die man zumindest in einfachen Fällen ausrechnen kann.
01:06Okay, schauen wir uns also einige der Funktionen an, die in R verfügbar sind und die es uns ermöglichen, die Normalverteilung zu verwenden
01:16auf verschiedene Weise zu nutzen.
01:17Das ist wirklich sehr hilfreich bei der statistischen Modellierung.
01:20Okay, wenn du dich zum Beispiel an den Bernoulli-Fall erinnerst, hatten wir diese Funktionen: dbern, pbern und qbern.
01:29Wenn ihr also vergessen habt, was diese Funktionen sind, geht zurück und lest euch das Material durch, damit ihr wisst, was diese Funktionen sind
01:35denn wir werden jetzt diese D P Q R-Funktionsfamilie in der
01:42kontinuierlichen Raum.
01:43Und natürlich gibt es jetzt wichtige Unterschiede zwischen dem diskreten und dem kontinuierlichen Fall, wie ich Ihnen zeigen werde, erstens
01:49Zunächst können Sie mit der Funktion rnorm Zufallsdaten aus einer Normalverteilung erzeugen.
01:55Hier gibt es also ein Beispiel.
01:57Ich generiere fünf Datenpunkte, zufällig generierte Datenpunkte aus der Standardnormale.
02:02Nur als Beispiel: Ich hätte jeden beliebigen Wert von Ihnen für den Mittelwert und die Standardabweichung wählen können und ich hätte entsprechende
02:09Sie wissen schon, Stichproben aus dieser bestimmten Verteilung.
02:12Wenn ich diesen Befehl mehrmals ausführe, erhalte ich natürlich jedes Mal andere Zahlen.
02:17Ich möchte auch darauf hinweisen, dass in R die Standardwerte für den Mittelwert und die Standardabweichung null bzw. eins betragen
02:24Ich hätte also, wenn ich Daten aus einer Standardnormale generieren möchte, den Mittelwert und die Standardabweichung einfach weglassen können
02:32Abweichung weglassen, weil das sowieso der Standardwert ist.
02:36Ich erhalte natürlich unterschiedliche Zahlen, aber das liegt daran, dass ich jedes Mal neue Zufallsdaten generiere.
02:43Okay, dieses Werkzeug ist extrem wichtig für uns in der statistischen Modellierung, wenn wir die Eigenschaften eines Experiments verstehen wollen
02:51Wenn wir die Eigenschaften eines Experiments verstehen wollen, müssen wir diese Eigenschaften durch die zufällige Erzeugung neuer Daten auf der Grundlage eines bestimmten statistischen Modells verstehen.
02:58Um die Eigenschaften dieses Modells zu verstehen, ist diese Funktion so wichtig für die Ausbildung der Statistiker.
03:08Das nächste Beispiel, das ich Ihnen zeigen möchte, ist die Verwendung der Funktion pnorm.
03:14Dies ist natürlich die kumulative Verteilungsfunktion der Normalverteilung.
03:18Und hier kann ich Fragen stellen wie: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, einen Wert wie zwei oder etwas kleiner als diesen zu beobachten?
03:25das könnte ich so schreiben und dann würde ich das mit der pnorm zwei berechnen.
03:29So erhalte ich die Wahrscheinlichkeit, zwei oder etwas Kleineres als das zu beobachten.
03:33Übrigens hätte ich auch einfach schreiben können, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, einen bestimmten Wert zu beobachten
03:37wie zwei,
03:38genau zwei oder etwas weniger als das.
03:40Hier habe ich genau weniger als zwei geschrieben, aber sie ergeben die gleichen Wahrscheinlichkeiten.
03:44Und warum?
03:45Weil die Wahrscheinlichkeit, genau zwei zu erhalten, gleich Null ist.
03:48In Lehrbüchern sieht man das manchmal mit einem Weniger-als-oder-Gleich-Zeichen geschrieben, aber das ist genau dasselbe
03:55Sache.
03:56Es wird sich nichts ändern.
03:57Das ist also meine kumulative Wahrscheinlichkeit von zwei oder weniger als zwei.
04:00Und ich könnte sogar eine Frage stellen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, einen Wert wie zwei oder etwas größer als zwei zu beobachten?
04:09Und um das zu tun, gibt es eine Spezifikation innerhalb dieser pnorm-Funktion, die besagt, dass der untere Punktschwanz gleich ist
04:17auf false.
04:18Das bedeutet, dass man nicht links von zwei in der Verteilung suchen sollte, sondern rechts von zwei.
04:26Der untere Schwanz ist gleich falsch, was bedeutet, dass man die Wahrscheinlichkeit rechts von der Zahl, über die man spricht, betrachtet
04:32Das ist es also, was diese nützliche Funktionalität in allen d p q r Funktionen ausmacht,
04:36sie sind, glaube ich, in jeder Funktion.
04:39Okay, das ist also eine nützliche Methode, um Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Werte zu berechnen, und du kannst sehen, wie du
04:48die Wahrscheinlichkeit berechnen kann, einen Wert zwischen zwei und minus zwei zu beobachten.
04:52Du berechnest die kumulative Wahrscheinlichkeit von zwei oder weniger als zwei, die den gesamten Bereich links davon abdeckt, und subtrahierst
04:59davon ab.
05:00Die Wahrscheinlichkeit, -2 oder etwas kleiner als 2 zu beobachten.
05:03Es wird also eine Subtraktion sein.
05:05Dies sind Übungen, die du später machen wirst, um zu verstehen, wie diese pnorm-Funktion oder diese P-Funktionsfamilie
05:11funktioniert.
05:13In Ordnung.
05:13Und eine weitere wichtige Funktion ist die Q-Norm-Funktion, die die Umkehrung der CDU ist.
05:19Man kann also Fragen stellen wie: Was ist das Quantil Q,
05:24so dass die Fläche unter der Kurve links davon 0,977 beträgt.
05:30Und diese Funktion liefert das Quantil,
05:35in diesem Fall sind es sogar zwei.
05:36Das ist genau das, was ich hier gemacht habe.
05:38Ich habe zwei eingesteckt,
05:40und ich habe eine Wahrscheinlichkeit von 0,977.
05:44Jetzt setze ich diese Wahrscheinlichkeit in die qnorm-Funktion ein und erhalte zwei zurück,
05:49nun, es ist ungefähr zwei.
05:53Dies sind also sehr wichtige Funktionen, die es einem erlauben, nützliche Fragen über eine bestimmte Verteilung zu stellen, die man
06:00mit der man arbeitet, und deshalb spreche ich so ausführlich darüber, denn sie sind sehr, sehr nützlich für das Verständnis verschiedener
06:07Aspekte einer Verteilung.
06:09Dies sind die Fragen, die man bei einer Verteilung stellen kann.
06:11Und so komme ich schließlich zum wichtigsten Punkt, über den ich bei der Normalverteilung sprechen möchte, nämlich der d-Norm
06:17Funktion.
06:18Wenn du dich also an die D-Band-Funktion und die D-Binom-Funktion erinnerst, haben wir die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ergebnisses
06:26in diesen Fällen diskreter Zufallsvariablen.
06:29Und wie ich Ihnen schon mehrmals gesagt habe, kann man im kontinuierlichen Fall nicht fragen, oder man kann es natürlich.
06:35Aber die Wahrscheinlichkeit, einen bestimmten Punktwert zu erhalten, ist immer Null.
06:40Die D-Norm-Funktion gibt also im Gegensatz zu den Funktionen D-Band und D-Binom nicht die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ergebnisses an
06:49aber sie gibt eine Zahl ungleich Null an.
06:51Wie lautet diese Zahl?
06:53Diese Zahl ist die Dichte dieses bestimmten Wertes.
06:58Und das bedeutet, dass sie das Ergebnis der Berechnung dieser Funktion angibt.
07:04Man setzt in die Normaldichtefunktion eine bestimmte Zahl wie zwei ein.
07:09Das ist es, was ich hier mache.
07:10Das ist übrigens f(x) hier.
07:12Es gibt die Funktion dnorm
07:13ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f(x) und sie liefert den Y-Wert,
07:18den Wert der Y-Achse
07:20für diese bestimmte Zahl.
07:21Und dieser Wert ist die Dichte der Normalverteilung.
07:24Es ist nicht die Wahrscheinlichkeit.
07:26Bitte merken Sie sich gut, dass wir, wenn wir über kontinuierliche Zufallsvariablen sprechen, über
07:33die Dichte eines bestimmten Punktes.
07:35Wir sprechen nicht über die Wahrscheinlichkeit, weil die Wahrscheinlichkeit immer Null ist.
07:43Dies ist also nur eine Zusammenfassung, um Sie an alle Funktionen zu erinnern, die für kontinuierliche Zufallsvariablen in diesem Programm verfügbar sind
07:49Fall die Normale.
07:51Man kann Zufallsdaten erzeugen.
07:53Dies sind nur zufällige Daten auf der X-Achse, die ich gerade erzeugt habe.
07:55Wenn ich diesen Befehl erneut ausführe, erhalte ich andere Daten,
08:00Ich würde jedes Mal andere Zahlen erhalten.
08:01Ich kann die Fläche unter der Kurve zwischen, sagen wir, plus eins und minus eins berechnen.
08:06Und das würde die Fläche unter der Kurve ergeben.
08:08Mit dieser pnorm-Funktion ziehe ich minus eins ab.
08:12Die kumulative Wahrscheinlichkeit von minus eins oder weniger als das von der kumulativen Wahrscheinlichkeit von eins oder etwas weniger als das
08:18und ich erhalte diese Fläche unter der Kurve. Das ist eine sehr nützliche Funktion, die für uns später von großer praktischer Bedeutung sein wird.
08:25Die Funktion dnorm vergibt einen Wert auf der X-Achse, der mir den Punkt auf der Kurve angibt.
08:31Der Y-Wert der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und dieser Wert hier ist natürlich nicht Null, aber es ist eine Dichte.
08:40Es ist keine Wahrscheinlichkeit.
08:43Und die qnorm-Funktion gibt dir für jede gegebene Wahrscheinlichkeit an, wie hoch das Quantil ist.
08:48Die Wahrscheinlichkeit unter der Kurve links von diesem Quantil ist also diese Wahrscheinlichkeit hier.
08:54Es ist also der Kehrwert der Verteilungsfunktion der Gemeinschaft.
08:59Dies ist also das Beispiel mit einer normalen 01.
09:02Aber man kann das natürlich auch mit einer beliebigen Normalverteilung spielen,
09:06mit einem beliebigen Mittelwert oder einer beliebigen Standardabweichung.
09:09Es ist ein sehr nützliches Werkzeug, um die Wahrscheinlichkeit unter der Kurve zu verstehen.
09:13Hier ist ein Beispiel für eine Normalverteilung mit Mittelwert 500 und Standardabweichung 100.
09:17500 ist hier der Mittelwert.
09:19Hier liegt also das Maximum.
09:21Und die Streuung dieser Verteilung wird durch die Standardabweichung bestimmt.
09:25Wenn ich diese Zahl auf 1000 erhöhe, wird die Standardabweichung viel breiter und der Bereich der X-Achse geht viel weiter hinaus
09:32um die 95 % der Fläche unter der Kurve zwischen diesem Bereich und diesem Bereich abzudecken.
09:39Die Standardausweichung bestimmt also die Streuung und der Mittelwert bestimmt den Mittelpunkt dieser Verteilung, und es ist eine symmetrische
09:45Verteilung.
09:46Die Normalverteilung ist symmetrisch.
09:49So sieht eine cdf im kontinuierlichen Raum aus.
09:52Ich habe Ihnen die CDF im diskreten Fall gezeigt, ich glaube, im binomischen Fall haben wir kontinuierliche Werte
09:59auf der X-Achse und die Wahrscheinlichkeit steigt bis zu eins.
10:03Man sieht, dass der Maximalwert eins ist.
10:05Dies ist also die kumulative Wahrscheinlichkeit, eine Zahl wie diese oder eine kleinere als diese zu beobachten.
10:10Man könnte natürlich bis ins Unendliche gehen.
10:12Das Ding wird bei 1 asymptotisch.
10:14Es wird sich jetzt nie ändern.
10:16So sieht also die CDF für die Normalverteilung aus, die Umkehrung der CDF
10:24dreht einfach die Achse dieser Funktion um.
10:27Dies wird also die X-Achse und dies wird die Y-Achse.
10:31Das ist also die Umkehrung hier
10:33Ich setze eine Wahrscheinlichkeit ein und erhalte das Quantil aus der kumulativen Verteilungsfunktion für diese bestimmte
10:40Wahrscheinlichkeit.
10:40Das ist also im Grunde der Aufbau hier.
10:44Dies sind die wichtigen Funktionen der Normalverteilung.
10:47Und eine wichtige Sache, auf die ich hinweisen möchte, ist, dass jede andere Verteilung, die wir in diesem Kurs oder im Lehrbuch verwenden werden
10:55später in den weiteren Kapiteln, den späteren Kapiteln des Buches, werden wir immer mit diesen Arten von Funktionen arbeiten
11:03um diese Verteilung zu verstehen.
11:05Und wir werden immer versuchen, die Eigenschaften einer bestimmten Verteilung, mit der wir arbeiten, zu verstehen.
11:11Und diese Art von Funktionen der Familie D P Q R ist äußerst nützlich, um zu verstehen, was die Verteilung
11:19aussieht und wie die Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Wertebereiche sind.
11:24Dies wird vor allem bei der bayesianischen Datenanalyse sehr wichtig, wenn wir versuchen, Prioritätsverteilungen abzuleiten
11:31indem wir darüber nachdenken, was die plausiblen Werte sein könnten.
11:34Darüber werde ich natürlich später sprechen, aber das ist die Vorbereitung, die wir für die Bayes'sche Modellierung brauchen.
11:43Was haben wir also bisher getan?
11:44Wir haben uns mit Zufallsvariablen befasst, insbesondere mit den diskreten und zufälligen Fällen mit jeweils einem Beispiel,
11:53mindestens zwei Beispiele für den diskreten Fall und eines für den kontinuierlichen Fall.
11:58Du wirst später natürlich noch mehr Beispiele für andere Verteilungen sehen.
12:01Aber dies sind die kanonischen Beispiele, die man verwenden kann, um zwei andere Verteilungen zu verallgemeinern. Denn die Geschichte
12:08wird sich jetzt nicht mehr ändern.
12:11Alles, was sich ändern wird, ist f(x),
12:14das ist es, was sich jetzt ändern wird.
12:16Und Sie sollten sich darüber im Klaren sein.
12:18Die Verwendung der DPQR-Familie von Funktionen, weil man sie immer braucht, wenn man über eine bestimmte
12:23Verteilung.
12:24Okay, das war's also mit der Normalverteilung.
12:28Als nächstes werde ich über die Maximum-Likelihood-Schätzung sprechen.