Introduction to Bayesian Data Analysis

1. 00:00Okay, in dieser dritten Vorlesung werde ich ein sehr wichtiges Beispiel für eine kontinuierliche Zufallsvariable vorstellen, eine mit
2. 00:09die Normalverteilung.
3. 00:11Erinnern Sie sich daran, was ich vorhin gesagt habe, was eine Zufallsvariable ist, nämlich eine Funktion, die X abbildet
4. 00:18S.
5. 00:18Das ist die Menge der möglichen Ergebnisse.
6. 00:21Man kann ein Experiment machen, es auf eine reelle Zahl abbilden und die reelle Zahl, auf die es abgebildet wird, die jedes Ereignis erhält
7. 00:29auf die jedes Ereignis abgebildet wird, nennt man die Unterstützung von X,
8. 00:31S von X.
9. 00:32Und im diskreten Fall hatten wir eine Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion, die mit dieser bestimmten Menge von Ergebnissen verbunden war.
10. 00:40Die Unterstützung von X und jedes dieser Elemente wurde auf eine Wahrscheinlichkeit abgebildet.
11. 00:45Das ist also die Gleichung, die ich dir hier zeige, richtig?
12. 00:49Und die kumulative Verteilungsfunktion ist natürlich die Summe aller möglichen Werte, die von X abwärts reichen.
13. 00:58Das habe ich also hier aufgeschrieben.
14. 01:00Das war also die ganze Geschichte mit diskreten Zufallsvariablen,
15. 01:03Das habe ich dir vorhin anhand von zwei Beispielen gezeigt, der Bernoulli- und der Binomial-Variable.
16. 01:08Jetzt werden wir über kontinuierliche Zufallsvariablen sprechen, aber wir werden auf dem aufbauen, was wir von der Bernoulli-Zahl gelernt haben.
17. 01:16der Theorie der diskreten Zufallsvariablen, die ich vorgestellt habe.
18. 01:20Wenn Sie sich also an Bernoulli und Binomial erinnern, habe ich Ihnen gezeigt, dass diese klassischen dpqr-Familien von Funktionen
19. 01:28in Aktion mit dem Bernoulli, ich habe dir nur rbern gezeigt, dbern und sorry, das ist ein Fehler hier, es hätte heißen müssen
20. 01:35pbern.
21. 01:37Und beim Binom habe ich dir die ganze Bandbreite der Möglichkeiten gezeigt.
22. 01:43In diesem Fall können wir in R die Funktionen r binom, dbinom, pbinom und qbinom verwenden, die ich als D
23. 01:49P Q R
24. 01:50Familie von Funktionen.
25. 01:51Diese Funktionen stehen nun für jede Zufallsvariable zur Verfügung, die wir in unserer Datenanalyse benötigen, praktisch
26. 02:01jede Zufallsvariable.
27. 02:03Im diskreten Fall, als wir über Münzwürfe gesprochen haben, gab es also diskrete Ergebnisse.
28. 02:09Aber es gibt Situationen, in denen die Ergebnisse nicht mehr diskret sind, man kann nicht nur Kopf oder Zahl erhalten.
29. 02:16Stattdessen erhält man ein Kontinuum von möglichen Werten.
30. 02:20Ein Beispiel dafür ist das Lesen von Daten,
31. 02:23wir forschen oft mit Blickverfolgung.
32. 02:26Wir lassen also Leute Sätze auf dem Computerbildschirm lesen, und wir haben ein hochentwickeltes Gerät, einen sogenannten Eye-Tracker, der
33. 02:32verfolgt, wohin genau die Augen blicken, auf welchen Buchstaben sie blicken, wenn sie einen Satz auf dem Bildschirm lesen
34. 02:39Das nennt man also einen Eye-Tracker.
35. 02:40Und mit einem solchen Gerät kann man die Lesezeiten im Millisekundenbereich aufzeichnen.
36. 02:45Das sind also kontinuierliche Werte,
37. 02:48Es kann sein, dass die Genauigkeit bei der Aufzeichnung der Ablesezeiten eingeschränkt ist.
38. 02:54Aber im Prinzip gibt es unendlich viele mögliche Werte zwischen 500 Millisekunden und 501 Millisekunden.
39. 03:01Theoretisch gibt es keine Begrenzung der Werte.
40. 03:04Das nennt man also eine kontinuierliche Zufallsvariable.
41. 03:06Und das ist die Art von Daten, die wir mit einer kontinuierlichen Zufallsvariablen modellieren können.
42. 03:12Ich werde dir also ein Beispiel dafür geben.
43. 03:14Was ist also der Unterschied zwischen diskreten und kontinuierlichen Zufallsvariablen?
44. 03:17Ein sehr großer Unterschied besteht darin, dass anstelle einer Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion, die mit jedem diskreten Ergebnis verbunden ist
45. 03:25der Wahrscheinlichkeit, wie wir es bei Binomial und Bernoulli im kontinuierlichen Fall gesehen haben, erhalten wir eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion,
46. 03:32keine Wahrscheinlichkeits-Massenfunktion, sondern eine Wahrscheinlichkeits-Dichtefunktion.
47. 03:36Okay, also werde ich das manchmal als pdf abkürzen,
48. 03:41nicht zu verwechseln mit pdf-Dokument.
49. 03:44Wenn ich pdf sage, beziehe ich mich eigentlich auf die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer kontinuierlichen Zufallsvariablen.
50. 03:52Von nun an werde ich eine Zufallsvariable folgendermaßen schreiben: Wenn ich eine Zufallsvariable X habe,
51. 03:58und ich kann übrigens jede beliebige Variable verwenden.
52. 04:00Ich könnte X verwenden,
53. 04:02Ich könnte Y verwenden, ich könnte Delta verwenden, ich könnte Zeta verwenden,
54. 04:05es spielt keine Rolle, wie die Variable heißt.
55. 04:07Es gibt eine Zufallsvariable.
56. 04:09Ich nehme an, dass dieser Zufallsvariablen eine bestimmte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion im kontinuierlichen Bereich zugeordnet ist
57. 04:17Fall und eine Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion im diskreten Fall.
58. 04:20Ich werde also alle diese Fälle mit diesem kleinen geschweiften Ding namens Tilde schreiben.
59. 04:25Was ich damit sagen will, ist, dass die Daten aus dieser Wahrscheinlichkeitsmasse oder Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion erzeugt werden.
60. 04:32Das ist es, was die Aussage von nun an bedeutet.
61. 04:36Schauen wir uns also ein Beispiel an, das Sie sicher schon gesehen haben.
62. 04:42Wenn Sie in der Vergangenheit eine Datenanalyse durchgeführt haben, gehe ich davon aus, dass die Daten von einem
63. 04:48Normalverteilung mit einem Mittelwert mu und einer Standardabweichung sigma.
64. 04:54Dies sind die Orts- und Skalenparameter.
65. 04:57Ich würde die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für die kontinuierliche Zufallsvariable wie folgt schreiben
66. 05:05in dieser Form hier.
67. 05:06Dies ist also die eigentliche Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Normalverteilung.
68. 05:12Was diese Funktion bewirkt, werde ich in ein paar Minuten erklären.
69. 05:16Aber als Eingabe nimmt sie ein bestimmtes Element in der Unterstützung von X,
70. 05:20Also, eine Lesezeit, die Sie vielleicht beobachtet haben und einige mu und sigma Parameterwerte.
71. 05:27So wie wir vorher Theta hatten.
72. 05:28Jetzt haben wir die Parameter mu und sigma. Wenn wir einige bestimmte Werte für mu und sigma angeben, können wir das Ergebnis dieser Funktion erhalten
73. 05:37Sie erhalten einen tatsächlichen numerischen Wert, der sich aus der Eingabe von X in diese Funktion ergibt.
74. 05:44Das ist also der normale funktionale Ansatz.
75. 05:48Dies ist also die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Normalverteilung.
76. 05:52Unsere Aufgabe ist es nun, zu verstehen, was genau diese Funktion bedeutet und was sie für uns tut.
77. 06:0000:06:01.689 Okay.
78. 06:02Du hast wahrscheinlich schon von der Normalverteilung gehört, die manchmal auch Gauß-Verteilung genannt wird, direkt nach Gauß, der
79. 06:10sie erfunden hat.
80. 06:11Und beachten Sie, dass wir bei dieser Verteilung im kanonischen Fall, im Standardfall, davon ausgehen, dass die Unterstützung
81. 06:18von X von minus unendlich bis hin zu plus unendlich reicht.
82. 06:23Es gibt also im Prinzip keine Begrenzung nach unten und oben,
83. 06:27in diesem kanonischen Fall hier kann man natürlich eine Normalverteilung abschneiden,
84. 06:32man kann eine untere und obere Grenze angeben und sie auf diese Weise abschneiden.
85. 06:36Und das wird in der Tat eine entscheidende Sache sein, die wir später machen werden.
86. 06:39Aber im Normalfall ist die Unterstützung von X von minus bis plus unendlich.
87. 06:47Wie ich bereits sagte, sind mu und sigma der Mittelwert und die Standardabweichung.
88. 06:51Sie werden allgemein als Orts- und Skalenparameter bezeichnet.
89. 06:55Sie werden mehr darüber im Lehrbuch lesen, aber im Moment ist das alles, was wir wissen müssen, um zu verstehen, wie diese Funktion aufgebaut ist.
90. 07:02Okay, also werde ich diese Konstruktion auspacken und ein bisschen mehr darüber reden, wie sie funktioniert.
91. 07:07Okay, wir erinnern uns, dass wir im Fall der diskreten Zufallsvariablen die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ergebnis berechnen können.
92. 07:15Wir könnten also zum Beispiel die D-Band-Funktion verwenden, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, genau eine Eins zu bekommen.
93. 07:23das ist genau ein Kopf.
94. 07:27Im binomischen Fall, wenn ich eine Münze 10 Mal werfe, kann ich mit der Funktion d binom herausfinden, was ist
95. 07:34die Wahrscheinlichkeit, genau zwei zu erhalten
96. 07:40als ein mögliches Ergebnis.
97. 07:42Bei der diskreten Zufallsvariablen kann ich also tatsächlich Fragen zu bestimmten Ergebnissen stellen.
98. 07:48Die Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Ergebnisse
99. 07:52in der kontinuierlichen Zufallsvariablen.
100. 07:54Bei einer kontinuierlichen Zufallsvariablen kann man das nie tun.
101. 07:58Die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes punktförmiges Ergebnis ist immer gleich Null.
102. 08:08Man kann die Wahrscheinlichkeiten in einer kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion berechnen, indem man Fragen stellt wie
103. 08:15wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, einen Wert zwischen dieser Zahl und dieser Zahl zu beobachten?
104. 08:20Man kann also eine andere Menge von Zahlen X haben.
105. 08:26Nennen wir sie X zwei und X eins.
106. 08:28X zwei wird größer sein als das nächste.
107. 08:30Bei einer kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion kann ich fragen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, einen Wert zwischen diesem
108. 08:37und diese Wahrscheinlichkeit wird durch Berechnung der Fläche unter der Kurve der Normalverteilung ermittelt.
109. 08:47Wie funktioniert das also?
110. 08:48Schauen wir uns das mal an.
111. 08:55Wir werden die kumulative Verteilungsfunktion der Normalverteilung verwenden, um dies zu berechnen
112. 09:05Fläche unter der Kurve.
113. 09:06Und um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, einen bestimmten Wert zwischen X zwei und X eins oder einen Wert wie X zwei oder etwas anderes zu beobachten
114. 09:15weniger als das.
115. 09:16Dafür gibt es die kumulative Verteilungsfunktion.
116. 09:19Also machen wir das.
117. 09:20Okay, mathematisch gesehen, wie würden wir das machen?
118. 09:24Wir würden eine Frage stellen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass wir eine Zahl wie u oder eine kleinere Zahl als diese in diesem
119. 09:30Zufallsvariable.
120. 09:31Und das muss natürlich mit der kumulativen Verteilungsfunktion berechnet werden.
121. 09:36Was du hier siehst, ist also die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
122. 09:41und was ich in diesem Integral berechne, ist, dass ich die Fläche unter der Kurve von u bis minus aufaddiere
123. 09:50Unendlich.
124. 09:51Und deshalb habe ich in diesem Integral eine obere und untere Grenze angegeben.
125. 09:54Dieses Integral ist nichts anderes
126. 09:57als die Summation, die wir im diskreten Fall gesehen haben, wenn du dich erinnerst, dass wir die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion genommen und summiert haben
127. 10:04alle Werte, die von X nach unten gehen.
128. 10:08Das ist genau das, was wir hier tun.
129. 10:11Wir berechnen die kumulative Wahrscheinlichkeit von
130. 10:15u oder etwas kleiner als u.
131. 10:18in diesem Fall.
132. 10:20Es hat sich also nicht viel geändert, außer dass wir jetzt zu einem kontinuierlichen Raum übergegangen sind.
133. 10:27Was wir heute gesehen haben, ist also das erste Beispiel einer kontinuierlichen Zufallsvariablen mit Normalverteilung.
134. 10:34Und jetzt werde ich einige wichtige Eigenschaften dieser Verteilung auspacken.
135. 10:40Das wird in der nächsten Vorlesung geschehen.

To enable the transcript, please select a language in the video player settings menu.